鈺成其事 - 曾鈺成
2016-08-29

執拾書架是很費時的事。一是因為有很多留之無用、棄之可惜的書，檢到手裡老半天都拿不定主意怎樣處置；二是碰上一些有趣而久違了的本子時，難免要坐下來重新翻閱一下，一旦不慎為其內容所吸引，便要耽誤了收拾的正務。   日前清理立法會辦公室的書架，看到Douglas Hofstadter的兩本舊書。都是厚本子，放在一起，佔了足足8 cm的空間。逐一拿起來看看，勾起了多年前的一些閱讀回憶。   Douglas Hofstadter(1945年出生)有個中文姓名叫「侯世達」，是一位在多個學術領域都有研究的美國學者。先前我在本欄介紹過Martin Gardner在科普雜誌Scientific American 裡極受歡迎的專欄Mathematical Games。Gardner在1981年停止寫專欄之後，侯世達取代了他的位置。侯的新專欄取名為Metamagical Themas，這是他自己杜撰的兩個字，是MATHEMATICAL GAMES的一個anagram。 我書架上的那兩本書，一本就叫做Metamagical Themas(1986年出版)，內容大部分是侯世達在Scientific American專欄發表過的文章；另一本是贏得普立茲獎和美國國家圖書獎的著作Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid(1979年出版；中譯《哥德爾、埃舍爾、巴赫：集異璧之大成》，其中「集異璧」用普通話讀近似「GEB」，該書的英文簡稱)。   「集異璧」把哥德爾的數學定理、埃舍爾的美術作品和巴赫的賦格曲聯繫起來，運用邏輯學、生物學、心理學、物理學和語言學等多個領域的知識，探討人類思維的奧秘。我多年前買了這本書，並沒有把它讀完，讀了的部分也只是一知半解。我所理解的，是有一個概念貫穿著整部著作：「怪圈」(strange loop)。   「怪圈」在邏輯學裡最常被引述的例子是「說謊者悖論」(Liar Paradox)：當一個人說「我在說謊」時，他是在說謊還是在說真話呢？如果他在說謊，「我在說謊」這話就是假的，即是他在說真話；但如果他在說真話，「我在說謊」這話就是真的了，即是他在說謊；怎樣也逃不出自相矛盾的解釋。這悖論來自句子的「自指」(self-reference)，即句子描述的對象包括了句子本身。   忍不住在這裡提出一句「自指」的話，跟讀者開個玩笑：「我說的任何關於我會否參選行政長官的話，都是假的。」這句話，當然也屬於「關於我會否參選行政長官」的了；這話是真的還是假的？

2016-08-25

日前我對傳媒說，我希望明年的行政長官選舉有真正的競爭；假如出現這樣一個局面，需要而可能由我成為一名候選人，以讓港人和中央政府有真正的選擇，那末我願意考慮參選。我還是有點自知之明，所以我補充說，我相信有比我更勝任的人選；只要他們願意出來，我必退讓。 這些話引起了一些反響。連日來我收到不少評論和意見，有反面的，也有正面的。我活到這把年紀，跌過許多跤，闖過許多禍，吃過許多虧；按「吃一塹長一智」的道理，雖未至「百毒不侵」，最少不會像年輕時那麼容易頭腦發昏了。褒獎之詞，愧不敢當；至於攻我之失者，皆我師也，自當樂受而深感之。 有批評者指我不自量力，「連立法會也沒有管好」，竟妄想當行政長官？ 說我「沒有管好」立法會，大概不只針對我的能力，而是質疑我的立場和操守了。據聞有官員說，兩年前的財委會主席沒有管好財委會，是有心無力；我作為立法會主席沒有管好立法會，是有力無心。另有高人說，行政立法關係問題，就在於我這個立法會主席；換了主席，問題便解決了。對於這些指控，我除了要深切反省之外，也祝願他們判斷正確，新的立法會主席選出之後，就如他們所想，行政立法關係從此一帆風順。 另有「恨鐵不成鋼」的批評，指我出爾反爾，先說「願意考慮」，其後又「退縮」，令人失望。有一位我在港大讀書時認識的師兄，平日和我甚少見面，最近一連給我發來兩封頗長的電郵，痛陳時弊，大義凜然，叫我回想大學裡的崢嶸歲月，問我年輕時的銳氣於今何在？我躊躇了半天，想不到怎樣回覆。 忽然想起民建聯剛成立時，一家電視台給我做專訪，記者叫我在鏡頭面前寫一幅毛筆字。我寫了魯迅的《自題小像》：「靈台無計逃神矢，風雨如磐闇故園。寄意寒星荃不察，我以我血薦軒轅。」 那是24年前的事了。經過這二十多年，跌跤多了，闖禍多了，吃虧多了，銳氣和傲氣都少了，那首詩再不敢拿來自況了。於是改寫首末兩句幾個字，以回應師兄： 靈台遲暮逃神矢，風雨如磐闇故園。寄意寒星荃不察，獨留碧血祭軒轅。

2016-08-22

鄧：立法會選舉，經常見到來自同一陣營的候選人互相廝殺，有時比攻擊敵對陣營的候選人還要厲害。 陳：你是說反對派陣營裡的互相攻擊吧？反對派本來就是四分五裂，有「溫和泛民」、「激進泛民」和更激進的「本土派」。他們雖然都跟建制派過不去，但各有不同的政治主張，不以其他派系為同路人；即使不是選舉，他們也經常互相傾軋。 鄧：我看到建制派候選人一樣有同室操戈的情況。我的選區裡有一個建制派候選人，拉票時總叫人不要把票投給區裡其他建制派。 陳：那是另一個問題。在選舉裡，每個候選人都希望拿得最多的選票，而真正的競爭對手是自己陣營裡的其他候選人。試想，建制派候選人攻擊反對派候選人，未必可以影響對方得票；即使真的可以令對方失去一部分選民的支持，失掉的選票也只會流向反對派的其他候選人，甚少會轉投到建制派候選人身上。所以一個建制派候選人要增加自己的得票，最容易的做法是從其他建制派候選人那裡搶票。 鄧：搶得太多，便會影響自己陣營裡其他候選人的勝算。 陳：那當然了。這情況同樣出現在反對派陣營裡。還記得嗎，上次立法會選舉，反對派在兩個選區裡出了「票王」；「票王」的名單沒拿到第二席，卻令自己陣營裡本來頗有勝算的其他名單拿不到議席。 鄧：如果候選人都從自己陣營的大局著眼，就應該避免拿得過多選票，把多餘的選票讓給其他有需要的「友軍」。 陳：「大局」重要，還是自己的勝算重要？誰都想多掙選票，進可榮當票王，退可力保不失。 鄧：有的反對派政黨正在協調「棄保」方案，爭取支持者集中票源，以免讓選票浪費在他們當中沒勝算的候選人身上。 陳：哈，「棄保」？棄誰保誰？誰會承認自己沒勝算？每個候選人都會有一套很好的理由，證明應該「棄他保我」。協調出棄保方案？開玩笑！ (鄧的手機響起了來電鈴聲。鄧接聽，來電者是老張。) 鄧：老張？我和老陳在吃花生聊天。甚麼事？ 張：我剛收到電話，說我們選區X號候選人已夠票了，叫我要投Ｙ號。我說，X號不是在告急嗎？對方便收線了。周一出刊

2016-08-18

本屆立法會選舉，地區直選候選人為歷屆最多。在各有9個議席的新界東和新界西選區，候選人名單分別有22張和20張；香港島和九龍西各有15張名單競逐6個議席；最小的選區九龍東，也有12張名單爭奪5個議席。   候選人多，後果就是落選者眾，大量投給落選者的選票被消耗掉。上屆立法會選舉(2012年)，地區直選的投票人數是1,838,722，撇除了數萬張廢票，有效票數是1,783,084，其中超過四十萬票投給了落敗的候選人。在競爭最激烈的新界東選區(上屆共有19張名單)，沒有贏得議席的候選人合共取去了近三成選票。全港成功當選的35名候選人合共得到的總票數，只佔投票總數的75%。以該次選舉53%的投票率計算，全部35名直選議員可說只代表登記選民的四成。今次選舉，候選名單比上次更多，當選者的代表性自會比上次更低。   跟單議席選區的「簡單多數制」比較，香港採用的「比例代表制」產生的議會還是有較廣泛的代表性的：在簡單多數制之下，可能出現獲得近半數選民支持的候選人竟要落選的情況。比例代表制讓社會上的少數派也可能有代表成功進入議會，而這「優點」的反面就是議會「碎片化」。   候選人愈多，要贏得議席所需要的票數便愈少。比例代表制按每張名單得票的數目分配議席；理論上，在有9個議席的新界東，候選人需拿得九分一的選票才有一個議席。可是，由於選票分散到大量候選名單之上，上一屆在新界東贏得議席的候選人，沒有一個拿到九分一的選票，其中有候選名單只拿到6.55%(即不到十五分之一)的選票，便已贏得議席。失敗的候選人當中，不少是只欠一兩個百分點甚至更少的選票而贏不到議席。   根據傳媒最近開始每天公布的「滾動民調」，這次選舉除了九龍東五個議席歸誰所有似乎已成定局之外，其他各選區都只有兩至三張名單穩操勝券，其餘多張名單陷於混戰，各自得票相差不遠，勝負之間可能只是一兩個百分點的得票率的區別。當選議員的得票率，相互之間可能差別更大。但這代表性的差異，不會反映在議會的運作上，因為所有議員在議會裡都享有同等權利。   周一、四刊登

2016-08-15

假設某選區裡的選民有三分之一是40歲以下，三分之二是40歲或以上；民意調查顯示，40歲以下的選民有36%支持建制派，64%支持非建制派；40歲或以上的選民，有54%支持建制派，46%支持非建制派。在該選區裡隨意找一個支持建制派的選民，他是40歲以下的機會是多少？   為方便計算，可設選區裡有選民300人(這假設對計算結果沒有影響)，即40歲以下的有100人，其中36%即36人支持建制派；40歲或以上的有200人，其中54%即108人支持建制派。即是說，支持建制派的選民合共有36+108=144人，其中40歲以下的佔了36人，即144的25%。由此可知，任意找一個支持建制派的選民，他是40歲以下的機會是25%。 這類問題叫「條件概率」。一般地，如果事件A及事件B同時發生的機會是x，而事件B發生的機會是u，那末已知事件B發生的條件下，事件A發生的機會是x除以u。   上次在本欄提出的「誰獲欽點」問題，可以用這個辦法去求解。甲獲欽點的機會是三分一；而倘若甲獲欽點，乙丙二人有相等的機會被丁點名，即機會各為二分一。所以，甲獲欽點且丙被點名的機會是三分一的二分一，即六分一。把這比率叫x。 乙獲欽點的機會也是三分一；但倘乙獲欽點，丙必被點名，所以乙獲欽點且丙被點名的機會仍是三分一。把這比率叫y。 丙獲欽點的機會當然也是三分一，而倘若獲欽點的是丙，他就不會被點名，所以丙獲欽點且被點名的機會是0。把這叫z。 丙在所有情況下被點名的機會就是x+y+z，等如二分一。把這叫u。   現在已知丙被點名，所以甲獲欽點的機會是 x除以u，即三分一；乙獲欽點的機會是y除以u，即三分二。 蒙提霍爾問題也是計算條件概率。把三道門分別叫A、B和C，設遊戲者選擇了A，然後主持人打開C，顯示那裡沒有車。A有車的機會是三分一；倘A有車，主持人打開B或C的機會各為一半，所以A有車且主持人打開C的機會是六分一。倘B有車，主持人一定要打開C，所以B有車且主持人打開C的機會是三分一。憑以上欽點問題相同的計算，得知B有車的機會是A的兩倍。

2016-08-11

以下「特首選舉」故事，純屬虛構，目的只為提出一條概率問題，說明這類問題很容易答錯。 特首選舉有甲、乙、丙三個候選人。人們都知道，中央政府已經暗中「欽點」了他們其中一人，只是不知道那是誰。三人獲欽點的機會均等，各自都是三分之一。 甲有一位朋友丁，是「接近中央政府的可靠消息人士」，知道誰獲得了中央欽點。甲向丁打聽。丁說：「對不起，我向中央政府作了莊嚴承諾，絕不會告訴任何候選人他是否已獲欽點。」 甲說：「你不用透露我是不是獲得欽點的候選人；我只是請你在其他兩個候選人當中，說出一個不獲欽點者的名字：假如乙獲欽點，你就說『丙』；假如丙獲欽點，你就說『乙』；假如獲欽點的是我，即乙丙兩人都不獲欽點，那就請你在他們兩人中隨意選取一人，說出他的名字。可以嗎？」 丁想了一會，覺得這樣做也沒有違反自己對中央政府的承諾，便回答說：「好吧，我按你的要求告訴你一個名字：丙。」 甲收到這個訊息，心裡十分高興，想道：「現在我知道，丙無論如何是不獲欽點的了；獲得欽點的就是我和乙兩人之中的一人，所以我的機會已由原來的三分之一提高至二分之一！」 甲和乙是好朋友，於是甲第一時間跑去找乙，告訴他這個好消息。甲把他和丁的對話完完整整的給乙複述了，並說：「我和你現在各有一半機會獲得欽點了。」 乙聽了笑而不語，其實他心裡對二人的機會有另一種算法。 乙很有數學頭腦，而且對蒙提霍爾問題的答案十分熟悉。他想：「甲獲欽點的機會本來是三分之一。丁提供的訊息不會改變甲的機會，因為我和丙之間最少有一人不獲欽點，這是早已知道的；該人是我抑或是丙，跟甲獲欽點的機會無關。所以甲的機會和先前沒有分別，依然是三分之一。」 「可是，丁提供的訊息對我卻十分重要。我和丙兩人當中有一人獲欽點的機會，即甲不獲欽點的機會，是三分之二；現在知道丙不獲欽點，原來屬於我和丙兩人合起來的機會，便全歸我了。所以，我的機會已提高至三分之二，比甲高了一倍。」 甲乙兩人誰對誰錯？抑或兩人皆錯？

2016-08-08

讀者或會記得上次本欄談及的三道門遊戲：三道關著的門，其中一道後面有一部名車，遊戲參加者選中了那道門便贏得車子。參加者選擇之後，主持人在另外兩道門中打開一道他知道沒有車子的，然後讓參加者考慮要否轉為選擇餘下的一道門。多數人都會選擇不轉變，因為憑著直覺，錯誤地相信轉變不會提高贏得車子的機會。這是一個很有名的反直覺思考的例子，叫做「蒙提霍爾問題」(蒙提霍爾，Monty Hall，是電視節目主持人的姓名)。 如果增加遊戲中可以選擇的門的數目，參加者會有甚麼反應呢？譬如把門的數目增加至100道吧：100道關著的門，其中有一道後面藏著車子；參加者自由選擇其中一道門，如果打開了有車子，就獎給他；但在打開他選擇了的門之前，主持人先打開其餘99道門當中的98道，全部都沒有車子。於是只剩下兩道門未有打開，即參加者剛才選擇了的那一道門，以及主持人故意留著不打開的另一道門。車子就在這兩道門其中一道的後面。 這時，主持人讓參加者決定維持抑或改變他的選擇，你想參加者會怎樣決定呢？顯而易見，稍會思考的參加者，一定會改變他的選擇。他知道，他一開始就在100道門當中選中有車子的門，機會是很小的；有車子的門在其他99道門當中的機會，自然大得多。當主持人讓他看到這99道門當中的98道沒有車子的時候，餘下那道門有車子的機會，當然是遠大於他原來選擇的那一道了(是99比1)，他怎能不「見異思遷」？ 當然，改變選擇不是百分百保證會贏：假如參加者一開始便選對了，那麼他改變選擇便會失去獎品；但是假如他一開始選錯了，改變選擇便肯定贏得獎品。後者的機會比前者大得多，所以改變一定是得多於失。 這條道理，其實也適用於原來三道門的蒙提霍爾問題，不過在只有三道門的時候，變與不變的優劣對比並不十分明顯，於是很多人便看不透，沒法作出正確的判斷。當人們看到維持現狀價值不大、轉變會帶來明顯地更好的機遇時，就較容易排除「稟賦效應」和「現狀偏差」等妨礙求變的心理因素。這就是「窮則思變」的道理。

2016-08-04

以下這問題看似十分簡單，卻難倒過很多人，包括數學家。   電視台主辦了這樣一個有獎遊戲：參加者面前有三道關上的門，其中一道門後面有一輛名車，另外兩道門後面各有一隻山羊。參加者選擇其中一道門，門後面的車或羊就是他的獎品。不過，在他把門打開之前，參加者有第二個選擇機會。他向主持人指出他選擇哪一道門之後，主持人便在餘下的兩道門中，打開一道後面藏著山羊的。然後，參加者可以改變初衷，選擇餘下的另一道門，或者維持原來的選擇不變。   問題：參加者應該改變選擇還是不變？如果你認為改變選擇不會令參加者提高贏得名車的機會，你的答案就和絕大多數人一樣。   瑪麗蓮·沃斯·莎凡特(Marilyn vos Savant，1946年在美國出生)是健力士世界紀錄裡IQ最高的人。她在星期日雜誌Parade有名為Ask Marilyn的專欄，回答讀者提出的IQ題和其他各式各樣的問題。1990年9月，有讀者提出以上問題，莎凡特在專欄裡回答說：應該改變選擇；因為維持原來選擇而贏得名車的機會是三分之一；如果改變選擇，贏得名車的機會增至三分之二。   這答案發表後，莎凡特收到過萬封回應的來信，其中超過九成，包括不少來自數學教師和高學歷人士的，都說她錯誤。有的來信更提出尖刻嚴厲的批評，指她頑固無知、不負責任、誤導公眾。   其實莎凡特的答案是正確的。她用了連續兩期專欄的篇幅，詳細列出了嚴格的證明，令大部分懂數學的人信服；不少數理學者仍堅持反對意見，直至看到電腦模擬證明了莎凡特的答案正確。不顧一切繼續拒絕接受莎凡特答案的，依然大有人在，包括諾貝爾物理學獎得主。直至今天，第一次看到這問題的人，大多數都認為不應改變選擇。   有分析認為，人們作出錯誤判斷的原因，是心理問題而不是邏輯問題。專家特別指出三種心理現象，妨礙了人們作出「要變」的正確判斷：一是「稟賦效應」，即過高估計已存在的東西(已選定的一道門)的價值；二是「現狀偏差」，即情緒上傾向維持現狀；三是「多一事不如少一事」，寧願少做了應做的事(改變選擇)，害怕多做了不應做的事。

2016-08-01

上星期我在本欄出了這個謎題：三個人每人頭上戴一頂白色或者藍色的帽子，其中最少有一頂是藍色。各人可以看到其他人的帽子，但看不到自己的帽子，要猜出自己帽子的顏色。沒有人立即猜到；但過了一會，三人同時說：「我知道了！」他們的帽子各是甚麼顏色呢？ 以下是謎題的答案。 帽子的顏色只有三個可能。第一個可能是一藍兩白。這時戴藍帽子的人看到其他二人戴著白帽子，便立即知道自己的帽子是藍色的，於是他便先於其他兩人猜出答案。 第二個可能是兩藍一白。這時，戴著藍帽子的人看到其他兩人的帽子一藍一白，便會想：「如果我戴的是白帽子，戴著藍帽子的人看見兩頂白帽子，便會立即猜到自己戴藍帽子。現在沒有人這樣猜，所以我戴的一定是藍帽子。」於是兩個戴著藍帽子的人便先於第三人猜出答案。 第三個可能，是三頂全是藍帽子。三個人都會這樣想：「其他兩人都戴著藍帽子。如果我戴的是白帽子，其他兩人看見一藍一白，便會(如前段所述)猜到自己戴著藍帽子。他們沒有馬上這樣猜，所以我戴的一定也是藍帽子。」 由於三人是同時猜到自己帽子的顏色，所以謎題的答案是三人都戴藍帽子。 這解答立足於兩點假設。第一，要假設三人的行為完全合乎邏輯。如果有人只是「靠撞」(瞎猜)，便不能從他的行為推導出有用的訊息。又或者當一個人懷疑其他人不按邏輯行事，他就不能根據他們的行為得出可靠的結論。 第二，要假設每個人都只想猜出自己帽子的顏色，沒有其他目的。譬如說，當甲看到乙和丙都戴著白帽子，馬上便知道自己戴的是藍帽子；可是，假如出於某種動機，甲要令乙和丙猜錯，於是裝作無法立即確定自己帽子的顏色，乙和丙便會被誤導，以為自己戴著藍帽子。 在現實生活裡，人們的行為往往不能用邏輯去解釋。衝動魯莽的人不顧邏輯，剛愎自用的人不重邏輯，多疑善妒的人不信邏輯，別有用心的人不講邏輯，都會作出不合邏輯的乖乎常理的決定。這現象在政圈裡尤為常見。許多政治問題都不像帽子謎題那樣，可以憑簡單的邏輯推理去解決。

2016-07-28

說起「帽子謎題」，興趣停不了。這裡再提出三題，給大家玩玩。 第一題：仍是三個人，各戴著藍色或白色的帽子。不過這次不是三人都可以互相對望：三人排成一列縱隊，在最後面的一人可以看到前面兩人的帽子，中間的人只看到前面一人的帽子，最前面的人甚麼都看不到。當然，三人都看不到自己的帽子。三人獲告知，他們頭上的帽子最少有一頂是藍色的。 最後面的人和中間的人都沒表示猜到自己帽子的顏色；過了一會，最前面的人說：「我知道我帽子的顏色了！」他的帽子是甚麼顏色呢？ 第二題：國王把十個人關在一個囚室裡，每人頭上戴一頂藍色或白色的帽子，每人都可以看到所有其他人的帽子，但看不到自己的帽子。 國王每隔一會便來視察囚室一次。如果他看到囚室裡的所有人戴的都是白帽子，他就立即把所有人都釋放了。如果囚室裡有戴藍帽子的人，國王便叫獄警把門打開，讓猜到自己戴藍帽子的人自由離開，再把門關上，等候國王下次再來。任何戴白帽子的人如果誤猜自己戴著藍帽子而離開囚室，將立即被拉去處決。 國王第五次視察囚室時，便把所有人釋放了，沒有人被處決。那十人戴的帽子，藍色和白色各有幾頂？ 以上兩題，和上次的題目相似，猜到答案的人都要藉觀察其他人的行為而得到提示，他們要假定所有人都有精明的頭腦，行為完全合乎邏輯。以下這一題有點不同：猜帽子顏色的人不可以從其他人的表現得到提示，但他們可以用另一種方式合作。 第三題：也是十個人，各戴著藍色或白色帽子，每人都看到所有其他人的帽子。這次他們沒有機會觀察別人的反應：他們每人都拿著一枝筆和一張紙條，環顧了其他人的帽子顏色後，便立即要猜答案。每個人在自己的紙條上寫下「藍」或「白」，交給國王，任何人不得偷看別人寫甚麼。國王點算有多少張寫著「藍」的紙條，如果數目正好是戴著藍色帽子的人數，十人全部獲釋；數目不對，全部處決。 眾人戴上帽子之後，當然不准互相溝通。但在戴帽之前，他們可以商定猜謎策略。他們應採取甚麼策略，保證一定獲釋？                               周一、四刊登

2016-07-25

前文提及的Martin Gardner，是我在學生時代的偶像。他在美國科普月刊Scientific American裡的數學遊戲專欄，每期我都不肯錯過。 Martin Gardner(1914－2010)是逾百本書的作者，著作範圍包括數學、科學、哲學、宗教和文學，曾經多次獲獎。他又是一位可以登台表演的魔術師。但他最受歡迎的，還是他從1957年到1981年間在Scientific American寫的數學遊戲專欄。許多人和我一樣，成為Scientific American的忠實讀者，就是為了看Martin Gardner的專欄。 Gardner曾把他的專欄文章編輯成書，書名Mathematical Carnival，1975年出版。他在該書的引言裡說：「我從來覺得，要喚起學生和大眾對數學的興趣，最好的辦法是寓教學於遊戲，向學生提出引人入勝的玩藝、謎題、戲法、笑話、悖論、模型、歌謠，還有其他許多很好玩的、卻被那些缺乏情趣的老師們視為無聊兒戲而不屑一顧的東西。殊不知正是遊戲的心態使學生專注、認真，在遊戲中漫不經意地吸收了絕不無聊的數學知識。」 兩星期前我在本欄評論香港的數學教學，慨嘆太少教師能夠引起學生對數學的興趣。其後收到一位數學老師來信，反對我指數學教師「未夠熱誠，沒有操練奧數題目」(這並非我的意思)，要求我收回「現時中學生沒興趣做數是因數學老師欠缺熱誠」的言論(我從沒這樣說)。我願意向所有覺得被冒犯的老師致歉；不過，如果老師的熱誠不是用來給學生「操練奧數」，而是和學生一起玩數學遊戲，那才值得欣慰。 在Martin Gardner提過的無數謎題當中，我很喜歡這個「帽子謎題」：從前有一個IQ很高的國王，有一天他聽說民間有三個智者，IQ比他更高。國王不服氣，把三人召到跟前，給他們每人頭上戴一頂白色或者藍色的帽子，各人可以看到其他人頭上帽子的顏色，但看不到自己帽子的顏色。國王告訴他們，三人頭上的帽子最少有一頂是藍色的，即藍色帽子的數目可以是1、2或3，但不會是0。他們互相不准談話，誰最先猜中自己頭上帽子的顏色，可得巨獎；要是猜錯了，便要斬頭。 三人各自看看其他兩人的帽子，沒有人立即猜到答案；但過了一會，三人同時開口說：「我知道了！」他們頭上的帽子，藍色和白色各有幾頂？

2016-07-21

1964年美國總統選舉，詹森(Lyndon Baines Johnson)對高華德(Barry Morris Goldwater)。選舉前夕，科普雜誌Scientific American數學遊戲專欄作者Martin Gardner預測選舉結果。他寫下了三個「神奇數字」，告訴讀者下一任美國總統的名字就隱藏在這組數字之中。   選舉結果，詹森勝出，Martin Gardner便「揭曉謎底」，指出美國某著名歷史文件裡(我記不起是哪一份文件了)排在那三個「神奇數字」位置的字母，正是詹森姓名的起首字母L、B、J。讀者一看便知這是作者跟他們開了個玩笑：找來兩份「重要文件」，要其中排在相同位置的三個字母，一為LBJ，另一為BMG(高華德姓名的起首字母)，並不困難。兩人當中不管是誰勝出，都被那三個神奇數字「準確預測」了。   本月初我在本欄出了一道數學題。聽編輯大人說過，數學文章是「趕客」的。為求「留客」，我在數學題後面加了一條尾巴：問題的答案可告訴讀者誰是下屆行政長官。   這是模仿Martin Gardner的「預測」，不過難度高得多。Gardner預測美國總統選舉結果，只須考慮兩個已知的候選人姓名；現在要預測下一屆行政長官，連誰是候選人、有多少個候選人都不知道。如果像Gardner那樣，要找來多份文件，各藏著一個可能的姓名，即使可以找到，「揭曉」時要說明為甚麼選取該份文件，只怕也會十分牽強沒趣。要言之成理，還是要花點心思。   數學題的答案是30，很快便有人算出了。人們立刻便把這數字當作姓名筆劃數目，於是拿一些熱門人選的姓名來計算筆劃。不少人說，在有可能的姓名中，30劃的只有一個：「梁振英」。   殊不知中文字的筆劃不只有一個算法。按照《新華字典》，「梁振英」筆劃數不是30，而是29或32。「林鄭月娥」如果用簡體字，剛好30劃。「曾俊華」是31劃，但如果把「曾」寫成「曽」(很多人都會這樣寫，把當中部分寫成「田」；按《新華字典》，古字「曽」與「曾」通)，也剛好30劃。陳德霖英文名Norman，人戲稱「攞命」，30劃。又如果按《康熙字典》筆劃計算，「葉劉」和「沈祖堯」都是30劃！   下一屆特首選出後，如果我以他或她的姓名是30劃來證明我的預測準確，一定被大喝倒采。

2016-07-18

本屆立法會的最後一次會議，在議員互相指罵聲中結束，議程上的多個項目，包括三項法案，在會期依法中止前來不及處理。   以往歷屆立法會最後一次會議上的最後一個事項，是議員的「惜別議案」辯論。在這項讓議員盡訴離情的辯論中，發言的議員都十分踴躍。尤其是告別議會、不打算競選連任的議員，都會藉著在議會裡的最後一次發言，總結議會生涯，論述時勢變遷，抒發個人情懷；慷慨激昂有之，欷歔嗟嘆有之，輕鬆幽默有之，不乏精彩之作。   到2012年結束的上一屆立法會，由於有議員「拉布」，令議會在最後兩個月裡待議事項「大塞車」。最後一次會議在處理完多項法案之後已到了法定的會期中止時間，「惜別議案」辯論也就不能進行，不少議員因此頗為失望。本屆立法會有多名資深議員不尋求連任，對於和上屆一樣不能在會議上發言「惜別」，他們當然會感到遺憾。   不過，「惜別議案」辯論進行與否，與公眾利益是沒有關係的；立法會最重要的職能，是制訂法律。上一屆立法會結束前，還算及時通過了一批關乎社會民生的法案，餘下未及處理的事項，對大局影響不大，所以可說是完成了當屆的主要工作。至於剛終止運作的這一屆，不但「惜別議案」和其他多項議員議案被迫放棄，連在社會上獲得廣泛支持的三項法案也胎死腹中，自是難逃輿論譴責。   三項法案不獲通過，雖不是完全意外，也不是政府當局和大部分議員一早料到的。這「多輸」的收場，是一系列複雜因素造成的，不能簡單解釋為個別議員無理「拉布」的結果。在事態發展的過程中，所有當事人包括政府官員和立法會各黨派的議員，各自都有種種不同的政治估算；在這些政治估算中，要通過三項法案恐怕不是一直被放在最優先的地位。或者可以說，法案不獲通過，反映了當事人的集體意志；真正感到失望、遺憾和無奈的，大概只有一般市民。   許多人會覺得立法會的表現十分荒謬。不過，如果要數政治裡的荒謬現象，幾項法案在議會裡通不過，哪裡及得上英國公投決定脫歐、美國總統選舉由特朗普對希拉莉那麼荒謬。   周一、四刊登

2016-07-14

鄧：拭目以待，九月揭盅。有甚麼人參選行政長官，九月便見分曉。 陳：何以見得？我只知梁振英說他最早九月才會決定是否競選連任，沒聽過其他人說九月會對參選行政長官作出決定。憑甚麼說九月便知誰會參選？ 鄧：立法會選舉在九月初進行。在立法會選舉之前，我想中央政府一定不會表示同意甚麼人參選行政長官。如果人們在九月前已經知道了甚麼人會成為行政長官候選人，那末支持誰做下一屆行政長官便會成為立法會選舉的主要議題，這是中央政府不願見到的。 陳：為甚麼？中央政府當然希望建制派在立法會選舉取得好成績。可是，讓大家提早知道誰是行政長官候選人，會怎樣影響立法會選情呢？一定會對建制派不利嗎？如果有了幾個可供選擇的人選，建制派被問「你支持誰做下一屆行政長官」，會比「你是否支持梁振英連任」容易回答。 鄧：我相信中央政府要看到立法會選舉的結果，才可以決定誰最適合當下一屆行政長官。如果建制派大勝，控制了立法會的大多數，那末由誰當行政長官問題不大，只要是中央信任的人，都可以出來競爭；相反，如果反對派在議會裡得勢，便必須讓梁振英連任，以強硬手法抗衡失控的議會。 陳：為甚麼不是反過來：建制派大勝，說明梁政府管治得到市民支持，梁應該連任；假若反對派得勢，議會裡「反梁」力量囂張，梁連任會令政府施政十分困難，所以應該換人？ 鄧：怎麼說都好，反正要分析了立法會選舉後的形勢，才可確定誰是下屆行政長官的最合適人選。梁振英一定十分明白此中道理，所以他說不會在九月之前決定是否競選連任。 陳：我認為，誰是行政長官最佳人選，和立法會選舉結果沒有關係。如果中央政府至今對人選問題未有決定，不是因為要等待九月的選舉結果，而是有其他情況仍要觀察，有其他問題需要考慮。 鄧：即使中央政府已經有了主意，也不會讓「跑馬仔」的活動過早搞起來，影響特區政府施政；畢竟最有機會角逐的人物，可能都是政府高官。無論如何，我們在這段時間唯有拭目以待。 陳：你可拭目以待，我會仰觀天色。 溫馨提示：日前我在本欄提出的數題，很多讀者都算到答案是30，並因此關注下屆行政長官熱門人選的姓名筆劃。為免誤導熱心讀者浪費時間，謹此提示，數字30與任何人的姓名筆劃數目無關。

2016-07-11

由香港主辦的2016年國際數學奧林匹克競賽，昨天舉行了開幕典禮。今明兩天，來自117個國家和地區的約700名數學尖子(每個國家或地區可派出最多6名中學生參賽)，集中在香港科技大學進行競賽。 國際數學奧林匹克(IMO)是一年一度的中學生國際數學競賽，第一屆1959年在羅馬尼亞舉行，參賽的只有7個東歐國家。五十多年來，除了1980年之外，IMO從未間斷過，且參賽國家和地區不斷增加，今年參賽隊伍數目是歷屆之冠。回歸前的香港曾在1994年主辦IMO，今年再次獲得主辦這項國際數學競賽的機會。 人們認識的一般「數學競賽」，多是鬥快鬥準：在限定的時間內要參賽者完成大量的計算題，算得準確答案最多的便是優勝者。IMO跟一般鬥快鬥準的數學比賽毫不相似。賽事分兩天進行，參賽者每天有四個半小時去解答三條問題，即兩天共解答六題。題目裡涉及的數學知識，不會超出中學數學課程範圍，解題時並不需要使用微積分等高等數學的知識和工具。參賽者比拼的，是靈活運用數學基礎知識和邏輯思考的能力。 IMO要求的數學思考能力，不是靠不斷重複的機械操練可以培養得來的。和很多其他參賽隊伍一樣，香港的代表隊也要接受特別的訓練，主要是讓隊員們認識IMO試題的類別和特點，熟習有關的數學知識和解題技巧。 IMO舉辦早期，每年成績最好的多是東歐國家。中國自參賽之後便有出色表現，成績在大多數年份都排名第一。香港也曾有不錯的表現，在「亞洲四小龍」中排名第一，但近年卻有落後於其他亞洲國家的趨勢。IMO香港委員會主席岑嘉評教授接受訪問時說，他認為香港中學數學「越來越淺」，「新高中數學只有舊制中五程度」，令中學生數學水平下降。 我認為問題不在於數學課程太淺，而在於對數學有興趣的學生太少。學校裡的數學教學無法令學生產生興趣，學生便不會有好成績。坊間許多教「奧數」的補習社，或可滿足一部分學生的需要。然而，要學生在學校裡學好數學，首先要有一批真正喜愛數學的中學教師。 香港有多少中學數學老師會關心IMO，甚至拿IMO的數學題目來看看呢？

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